Question

【急啊急啊急啊！！！急求解数学题啊】已知函数f(x)=tx^2+2t^2x+t-1(x属于R,t>0) 《1》求f(x)的最小值...

【急啊急啊急啊！！！急求解数学题啊】已知函数f(x)=tx^2+2t^2x+t-1(x属于R,t>0)
《1》求f(x)的最小值h(t);
《2》若h(t)<-2t+m对任意t属于(0,2)恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

（1）解：对称轴为x=-t
所以f(x)min=f(-t)=-t^3+t-1
（2）h(t)=-t^3+t-1<-2t+m
m>-t^3+3t-1
设g(t)=-t^3+3t-1
g'=-3t^2+3=-3(t-1)(t+1) 导数
当0<=t<=1时，g'>0 是增函数
当1<=t<=2时，g'<0 是减函数
g(t)的最大值在t=1时，g(1)=-1+3-1=1
由于m>g(t)，故m>1

Answer 2

令f（x）'=o
因为 t>0
所以当x=-t 时f(x)最小值h(t)=-t^3+t-1
h(t)=-t^3+t-1<-2t+m
g(t)=-t^3+3t-1
设0<=t1<t2<=2
g(t2)-g(t1)=-(t2)^3+3(t2)-1+(t1)^3-3(t1)+1=(t1)^3-(t2)^3+3(t2)-3(t1)
=(t2-t1)[(t2)^2+(t2)(t1)+(t1)^2]+3(t2-t1)
=(t2-t1)[(t2)^2+(t2)(t1)+(t1)^2+3]
因为[(t2)^2+(t2)(t1)+(t1)^2+3]>0,t2-t1>0
所以g(t2)-g(t1)>0
即g(t)在[0，2]上为单调递增函数
所以当t=2时有最大值g(t)=-3
故m>-3

Answer 3

：（I）∵f（x）=t（x+t）2-t3+t-1（x∈R，t＞0），
∴当x=-t时，f（x）取最小值f（-t）=-t2+t-1，
即h（t）=-t3+t-1；
（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t3+3t-1-m，
由g′（t）=-3t2+3=0得t=1，t=-1（不合题意，舍去）
当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：

∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）=1-m
h（t）＜-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m＜0
所以m的取值范围为m＞1．

Answer 4

1）
当x=-b/2a=-2t^2/(2t)=-t时，
f(x)有最小值f(-t)=-t^3+t-1=h(t)
2)
令g(t)=h(t)+2t=-t^3+3t-1
g'(t)=-3t^2+3=0
g(t)≤g(1)=1
所以m取值范围为m>1

Answer 5

扼