Question

等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3，则三角形ABC的最大面积为，最大周长为？ 求详细过程。

等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3，则三角形ABC的最大面积为，最大周长为？ 求详细过程。
好的追加悬赏QAQ

Answer 1

应当还有别的办法，这里用解析几何做。

取D为原点，AC为x轴，|AC| = 2a (a > 0), 则A(-a, 0), C(a, 0)

|BD| = 3, 则B一定在以D(原点)A为圆心, 半径为3的圆上，圆的方程为x² + y² = 9       (1)

|AB| = |AC|，则B一定在以A为圆心，半径为2a的圆上，圆的方程为(x + a)² + y² = 4a²           (2)

联立可得B的坐标: ((3a² - 9)/(2a), √[(-9a^4 + 90a² -81)/(4a²)]) (因为答案肯定关于x轴对称，这里只取x轴上方的交点)

三角形ABC的面积为 S = (1/2)|AC|*B的纵坐标 = (1/2)(2a)*B的纵坐标 = a*B的纵坐标

= a√[(-9a^4 + 90a² -81)/(4a²)] = (1/2)√[(-9a^4 + 90a² -81)

= (3/2)√(-a^4 + 10a² - 9)

= (3/2)√[16 - (a² - 5)²]

a² = 5是，S最大，值为6

|BC|² = [(3a² - 9)/(2a) - a]² + (-9a^4 + 90a² -81)/(4a²) = 18 - 2a²

周长为l = |AB| + |AC| + |BC| = 2a + 2a + |BC|

= 4a + |BC| 

= 4a + √(18 - 2a²)

容易求a² = 8时，周长最小，此时l = 9√2 

参考图。蓝线为以D(原点)A为圆心, 半径为3的圆（只画了一半）；红线为(x + a)² + y² = 4a²在a=2时的半圆。

Answer 2

？