Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
②试求：由始至终线段EF的中点H所经过的路线长

Answer 1

解答：在线数学帮助你！！！
过程：
当E、F分别和B、C重合时；则有：
AB=2；AP=1；根据勾股定理：
PE=√5；
直角三角形PEF中；∠PFE=30°；
因此：PC=PE/tan30°=√15；
EF=BC=2√5；

第二步：
设：BE=X；
则有AE=2-X；PE^=1+(2-X)^2；
在直角尺中：PF=PE/tan∠PFE；
tan∠PEF=PF/PE
=PE/tan∠PFE/PE
1/tan∠PFE；
故此：tan∠PEF的值和BE是无关的！
故此保持不变！！

EF的中点初始位置在BC上BH=√5；
最终位置在：AB上BH‘=1；
故此总的过程是：HH’的长；
根据勾股定理：
HH‘=√BH^2+BH'^2=√6；
回答完毕！！但愿对你有帮助！！

追问

第三问能不能再详细一点？

追答

更正一下：
当E与A重合时,PF垂直于BC. 因为矩形ABFP , 所以中点H1到AB的距离为1/2 , 到BC的距离为1； 开始运动时BH=√5 ；
连接HH’；
BH'=√(1/2)^2+1^2=√5/2；
在直角三角形中BH1H中 ；
利用勾股定理 HH1=√（√5)^2-(√5/2)^2=√15/2；
但愿对你有帮助！祝你学习愉快！

Answer 2

解：
（1）设BC=AD=x
∵AB=2 AP=1
由勾股定理 ∴BP=√5
在△BPC中 BP=√5 BC=x
∴PC^2=x^2-5
∴在△PDC中 PD=x-1 PC^2=x^2-5 DC=AB=2
∴PC^2=x^2-5=(x+1)^2+4
∴x=5
∴PC=√20=2√5
（2）①没变化

Answer 3

（1）三角形BAP和CPB是相似三角形，由勾股定理，得BP等于根5，那么PC等于2倍根5
（2）tan∠PEF的值不会发生变化。过程如下：设E交与AB任意位置（如图1），以EF中心为圆心，EF的为直径画圆，易知PEBF四点都在这个圆上。此时，我们连接PB两点和PC两点（即，做这样两条辅助线），由于∠PEF和∠PBC对应的圆弧相同，所以这两个角相等。所以，tan∠PEF=tan∠PBC=2
（3）根5

Answer 4

当E、F分别和B、C重合时；则有：
AB=2；AP=1；根据勾股定理：
PE=√5；
直角三角形PEF中；∠PFE=30°；
因此：PC=PE/tan30°=√15；
EF=BC=2√5；

第二步：
设：BE=X；
则有AE=2-X；PE^=1+(2-X)^2；
在直角尺中：PF=PE/tan∠PFE；
tan∠PEF=PF/PE
=PE/tan∠PFE/PE
1/tan∠PFE；
故此：tan∠PEF的值和BE是无关的！
故此保持不变！！

EF的中点初始位置在BC上BH=√5；
最终位置在：AB上BH‘=1；
故此总的过程是：HH’的长；
根据勾股定理：
HH‘=√BH^2+BH'^2=√6；