Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F

求三角形PEF的最小值角PEF是否发生变化，理由

Answer 1

AP=1，CD=AB=2，则PB=5，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴APCD=PBPC 即 12=5PC，
∴PC=25；

（2）①tan∠PEF的值不变．
理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，
则四边形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GPF，
∴PFPE=GFAP=21=2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF=PFPE=2，
∴tan∠PEF的值不变；

②设线段EF的中点为O，连接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=12EF，
在Rt△EBF中，OB=12EF，
∴OP=OB=12EF，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
∴线段EF的中点经过的路线长为BP=AB2+AP2=5．

Answer 2

tan∠PEF=0.5 不会变化
EF的中点H所经过的路线=1/2的PC长
解法：过P做OP垂直于BC，并过△POF作圆。
∵AB∥OP ∴∠AEP=∠EPO
又∵△POF为直角三角形∴PF为圆的直径
又∵PE⊥PF∴PE为圆POF的切线
∴切线角∠EPO=∠PFO
∴直角△AEP∽直角△POF
∴AP/EP=OP/PF=AB/PF
∴tan∠PEF=EP/PF=AP/AB=1/2