Question

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈〔1,＋∞)

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈〔1,＋∞)
(1)当A=1/2时,求函数f(x)的最小值
（2） 若对任意x∈1，＋∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围

Answer 1

(1).当a=1/2时，f(x)=x+2+1/2x,因为x∈[1,+∞)，所以当x=1时，f(x)有最小值。即f(1)=1+2+1/2=3又1/2

(2).把函数化为f(x)=[(x+1)^2+a-1]/x
则[(x+1)^2+a-1]/x>0
因为x∈[1,+∞).，所以(x+1)^2恒大于4，
则只要a-1>-4即可。
则a>-3
a的取值范围为（-3，+∞）

追问

第一问没有说明f（x）在x∈[1,+∞)单调递增啊，要先说明才能说f（1）是最小值，不是吗

追答

f(x)=(x2+2x+a)/x,
=x+2+1/2x
f'(x)=1-1/x^2
因为x>=1,所以f'(x)=1-1/x^2>=1-1=0,所以f(x)是增函数