Question

求数学大神，求和函数

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

分享解法如下。由题设条件，有[f'n(x)-fn(x)]e^(-x)=x^(n-1)，即[fn(x)e^(-x)]'=x^(n-1)。
两边对x积分，∴fn(x)e^(-x)=(1/n)x^n+C。而，fn(1)=e/n，∴C=0。
∴fn(x)=(1/n)(x^n)e^x。

Answer 3

设f<n>(x)=c(x)e^x,则

f'<n>(x)=[c'(x)+c(x)]e^x,
都代入方程，两边都除以e^x,得
c'(x)+c(x)=c(x)+x^(n-1),
所以c'(x)=x^(n-1),
c(x)=(1/n)x^n+c,
f<n>(x)=[(1/n)x^n+c)e^x,
f<n>(1)=(1/n+c)e=e/n,
所以c=0,
f<n>(x)=(1/n)x^n*e^x,
所以∑<n=1,∞>f<n>(x)=e^x*∑<n=1,∞>(1/n)x^n
=e^x*∫<0,x>∑<n=1,∞>t^(n-1)dt
=e^x*∫<0,x>dt/(1-t)
=e^x*[-ln|1-t|]|<0,x>
=-e^xln|1-x|.

Answer 4

p(x) = -1

e^[∫p(x) dx] = e^(-x)
fn'(x)=fn(x)+x^(n-1).e^x
fn'(x)-fn(x) =x^(n-1).e^x
e^(-x) .[fn'(x)-fn(x)] =x^(n-1)
d/dx [ e^(-x) .fn(x) ] =x^(n-1)
e^(-x) .fn(x) =∫x^(n-1) dx
= x^n/n +C
fn(x) = e^x .[x^n/n +C]
fn(1)=e/n
e/n =e. [ 1/n +C]
C=0
ie
fn(x) = e^x(x^n/n )
consider
1/(1-u) = 1+u+u^2+...
∫(0->x) du/(1-u) =∫(0->x) [1+u+u^2+...] du
-ln(1-x) = x+x^2/2+x^3/3+..
∑(n:1->无穷) (x^n/n ) =-ln(1-x)

=∑(n:1->无穷) e^x(x^n/n )
=e^x .∑(n:1->无穷) (x^n/n )

=-e^x . ln(1-x)