Question

已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ，曲线y=f(x)在点（1，f（1））处切线方程为x+2y-3=0

(1)若任意x属于[1,e],f(x)＞k/x求k的取值范围
(2)若存在x属于[1,e],f(x)＞k/x求k的取值范围
(3)若存在x属于[1,e],f(x)=k/x求k的取值范围
要过程，谢谢

Answer 1

f(x)=alnx/(x+1)+b/x；f(1)=b
f '(x)=a((x+1)/x - lnx)/(x+1)^2 - b/x^2，f '(1) =a/2-b
曲线在(1,f(1))处的切线方程：y-f(1)=f '(1)*(x-1),
即x+2y-3=0，过点(1,1）
可知：f(1)=b=1，f '(1) =a/2-b=-1/2
解得：a=1,b=1
f(x)=lnx/(x+1)+1/x
（1）任意x ϵ [1,e]>0，f(x)>k/x,即
g(x)=xf(x)-k>0,
g(x)=x*lnx/(x+1)+1-k,
g '(x)=(x+lnx+1)/(x+1)^2 >0 (x, lnx在[1,e]上均单调递增，x+lnx+1>2>0)
g(x)在[1,e]上单调递增；
对任意x ϵ [1,e]>0，g(x)>0,
则g(x)min=g(1)=1-k>0 ,
故k<1.
（2）存在x ϵ [1,e]>0，f(x)>k/x,即
g(x)=xf(x)-k>0, g(x)在[1,e]上单调递增
则g(x)max=g(e)=(2e+1)/(1+e) - k >0
故k< (2e+1)/(1+e).
(3)存在x ϵ [1,e]>0，f(x)=k/x,即
g(x)=xf(x)-k=0,
由广义零点定理g(1)*g(e)<=0
g(x)在[1,e]上单调递增,g(1)<g(e)
则g(1)<=0，g(e)>=0,
故k ϵ [1,(2e+1)/(1+e)].