Question

几条曲线围成的面积指哪个面积

Answer 1

个人理解：对函数求导就是微分，或者说要求某可导函数的某处斜率时要用微分
而求两函数围成的面积要用积分，积分符号∫
微分与积分是互逆计算，已知原函数，求导函数叫微分；已知导函数，求原函数叫积分
比如 已知函数y=x²，对其微分就是y’=2x，求其积分就是y=(1/3)x³
【曲线 y=x^n对其求导（即求其微分）
y’=n•x^(n-1)
若有点Q（a，a^n）
把x=a代入y’=n•x^(n-1)
得到 y’=n•a^(n-1)即为曲线在点Q处切线斜率
那么很显然，对其求积分，则为
y=[1/(n+1)]•x^(n+1)】
两曲线f(x),g(x)之间在a≤x≤b区间上所围成的面积
S=∫[a,b]{|f(x)-g(x)|}dx
（[a，b]表示区间，{}内表示要积分的函数，dx应该表示定积分
注意：定义式中|f(x)-g(x)|带绝对值的，现实计算可根据几何意义去掉绝对值
回到你举的例
x轴实际上是直线x=0
所以f(x)=x²，g(x)=0，
S=∫[a,b]{x²-0|}dx【很显然，在[a，b]间f(x)在g(x)的上方，所以在区间[a,b]中f(x)-g(x)＞0】
=∫[a,b]{x²}dx
=(1/3)x³ [a,b]
=(1/3)b³-(1/3)a³
【牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。（我的个人理解是：S=∫[a,b]{x²-0|}dx是一个定积分式，求他的方法是 对其积分求出原函数，再把上限和下限代入作差）
而定积分就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积】
【由于x轴实际上是直线x=0，所以若直接对f(x)积分，求的就是在区间[a,b]中f(x)与x轴围成的面积】