Question

定积分的几何运用Y=0.5X^2,y^2+x^2=8求曲线围成的面积，两部分都要

Answer 1

先求小的那部分面积，自行画图
先求两曲线交点：联立曲线方程得
2y=x² (1)
x²+y²=8 (2)
(1)代入(2)得：y²+2y-8=0，解得y=2或y=-4（舍）
当y=2时，可解得：x=±2
∫∫1dxdy 积分区域D就是所求的那个区域
=∫[-2-->2]∫[0.5x²-->√(8-x²) ] 1 dydx
=∫[-2-->2] (√(8-x²)-0.5x²)dx
=∫[-2-->2] √(8-x²) dx-∫[-2-->2] 0.5x²dx
由偶函数性质
=2∫[0-->2] √(8-x²) dx-∫[0-->2] x²dx
前一积分换元，令x=2√2sinu，则√(8-x²)=2√2cosu，dx=2√2cosudu，u：0-->π/4
=2∫[0-->π/4] (2√2cosu)*(2√2cosu) du-1/3x³| [0-->2]
=16∫[0-->π/4] cos²u du-8/3
=8∫[0-->π/4] (1+cos2u) du-8/3
=8(u+1/2sin2u) | [0-->π/4] -8/3
=8(π/4+1/2) -8/3
=2π+4/3

这是小的那一部分，大的那一部分就简单了，从整圆中把小的减去就行了，整个圆的面积为：8π
大的那部分面积为：8π-(2π+4/3)=6π-4/3