Question

如图，在平行四边形ABCD中，过A,B,C三点的圆

在四边形ABCD中，过A，B，C三点的圆O交AD于E，且与CD相切。若AB=4,DE=5，则DE=

Answer 1

解：【BE=5？】
连接AC
∵AD//BC
∴四边形ABCE是等腰梯形【根据平行弦所夹弧相等，等弧对等弦即腰相等】
∴AC=BE=5【等腰梯形对角线相等】
∵AB//DC
∴∠DCA=∠CAB
∵DC是切线
∴∠DCA=∠CBA【弦切角等于夹弧所对的圆周角】
∴∠CAB=∠BCA
∴CB=CA=5，则DA=CB=5，DC=AB=4
∵DC²=DE×DA【切割线定理】
4²=DE×5
∴DE=3.2

Answer 2

连结AC、CE。
由AE‖BC，知四边形ABCE是等腰梯形

所以，AC＝BE＝5，AB=CE=4，DC＝AB＝4
因为DC‖AB，DC与圆相切

所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC ，∠DCE＝∠CAE

所以，AC＝BC＝AD＝5

又因为∠DEC＝∠DAC+∠ACE,，∠DCA＝∠DCE+∠ACE

所以，∠DEC＝∠DCA

又因为∠ADC=∠CDE，∠DCE＝∠CAE

所以，三角形DCE相似于三角形DAC

所以，DE/DC=DC/DA

DE=16/5=3.2