Question

求行列式:第一行:α+β,α,0…0,0;第二行:β,α+β,α…0,0;……倒数第二行：0,0,0…α+β，α；

求行列式:第一行:α+β,α,0…0,0;第二行:β,α+β,α…0,0;……倒数第二行：0,0,0…α+β，α；最后一行：0,0,0…β，α+β，求详细解答，谢谢

Answer 1

解：设原式 = Dn =
α+β α 0 … 0 0
β α+β α … 0 0
0 β α+β … 0 0
…………………………
0 0 0 … α+β α
0 0 0 … β α+β

按第一行展开得
Dn = (α+β)*D<n-1> - αβ*D<n-2>
此即，
Dn - αD<n-1> = β*(D<n-1> - αD<n-2>) = β²*(D<n-1> - αD<n-2>)
=……= β^(n-2) * (D2 - αD1)
而， D2 = (α+β)² - αβ， D1=α+β
即， D2 - αD1 = (α+β)² - αβ - α(α+β) = β²
于是，
Dn - αD<n-1> = β^(n-2) * β² = β^n

将n=2，3，……，n代入上式可得一系列等式为
Dn - αD<n-1> = β^n
D<n-1> - αD<n-2> = β^(n-1)
……………………
D2 - αD1 = β²
整理得，
Dn - α^(n-1) *D1 = β^n + αβ^(n-1) + α²β^(n-2) + …… + α^(n-2)β²
故，
Dn = β^n + αβ^(n-1) + α²β^(n-2) + …… + α^(n-2)β² + α^(n-1)β + α^n

当α = β时，Dn = (n+1)α^n
当α ≠ β时，Dn = 【β^(n+1) - α^(n+1)】/(β - α)

追问

请问一下，D(n-2)是怎么来的？按第一行展开后，α*(-1)^(1+2)*一个行列式，那个行列式不就比原来的行列式少一行吗？

追答

按第一行展开，得
| α+β α … 0 0 | | β α … 0 0 |
| β α+β … 0 0 | | 0 α+β … 0 0 |
Dn = (α+β)* | ……………………… | - α* | ……………………… |
| 0 0 … α+β α | | 0 0 … α+β α |
| 0 0 … β α+β | | 0 0 … β α+β |

| α+β α … 0 0 |
| β α+β … 0 0 | | α+β … 0 0 |
= (α+β)* | ……………………… | - αβ* | ………………… |
| 0 0 … α+β α | | 0 … α+β α |
| 0 0 … β α+β | | 0 … β α+β |

= (α+β)* D - αβ*D

【注】因为怕你不明白，上面递推过程中我没有改变原行列式的表达形式，以便你可以通过比较行数理解。不明白再留言问我~~

追问

Dn - αD = β*(D - αD) = β²*(D - αD)
=……= β^(n-2) * (D2 - αD1)，那个是(β^2)*[D(n-1)-αD(n-2)]吗？为什么？
]

追答

那个是我写错了，不好意思。应该是
Dn - αD = β*(D - αD) = β²*(D - αD)
=……= β^(n-2) * (D2 - αD1)

追问

整理得，
Dn - α^(n-1) *D1 = β^n + αβ^(n-1) + α²β^(n-2) + …… + α^(n-2)β²
请问一下，这是怎么整理的？

追答

Dn - αD = β^n …………………………………………………………（1）
D - αD = β^(n-1)…………………………………………………（2）
D - αD = β^(n-2)…………………………………………………（3）
D - αD = β^(n-3)…………………………………………………（4）
……………………
D2 - αD1 = β² ………………………………………………………………（n-1）

上述n-1条等式的整理过程是：
（1）式+ α*（2）式 + α²*（3）式 + α³*（4）式 + …… + α^(n-2)*（n-1）式
于是就得到
Dn - α^(n-1) *D1 = β^n + αβ^(n-1) + α²β^(n-2) + …… + α^(n-2)β²

******还有没有不明白的，欢迎继续追问 ( ^_^ )