Question

计算定积分∫(4,-4)根号16-x^2 dx

Answer 1

∫(4,-4)√(16-x^2)
令y=√(16-x^2) -> y^2=16-x^2 -> x^2+y^2=16 (y>=0)
则定积分表示以(0,0)为圆心，半径为r=4的半圆的面积
∫(4,-4)√(16-x^2)=1/2*(πr^2)=1/2*(16π)=8π

追问

谢谢

Answer 2

这个表示一个半圆的面积
半径是4
面积为8π

追问

请问用微积分怎么计算

追答

要设 x=4siny 带入

追问

那问一下 导数根号下16-x^2的原函数怎么推出来？

追答

哦
设x=4siny dx=4cosydy
y∈[-π/2,π/2]
则
∫√(16-x²)dx
=∫4cosy *4cosy dy
=∫8(cos2y+1)dy
=4sin2y+8y+C
=8√[sin²ycos²y]+8arcsinx+C
=8√[x²(16-x²)/16²]+8arcsinx+C
=(1/2)√[x²(16-x²)]+8arcsinx+C

你算一遍是不是 我不太确定的