Question

e为什么是无理数

Answer 1

自然常数用字母 e 来表示，以 e 为底的对数叫自然对数，用 lnx 表示， l 表示 logarithm (对数)， n 表示 nature (自然)。在分析学中，比较常用的计算 e 的方法主要有两种，其一是利用极限

另一种方法是利用级数

e和π都是无理数，证明e是无理数比证明π是无理数要容易。

1737年欧拉利用无限连分数初步证明了e和e2是无理数。

下面介绍中国数学家夏道行证明e是无理数的思路。

假设e是有理数，设为q/p，(q,p  为互素自然数) ，任取n>p ，则由

两边同乘以 n!可得

所以， (*)式左端为正整数，故右端也应为正整数，但右端前n+1  项之和为正整数，而余项之和 Rn+1 却满足

即 Rn+1不是整数，从而  (*) 式右端不是整数，产生矛盾，所以e是无理数。