Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60º． （1）求⊙O的直径； （2）若D是AB延长线上

如图，AB是圆O的直径，弦BC=2cm，
∠ABC=60º．
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，△BEF为直角三角形。

Answer 1

（1）∵AB是圆O的直径，°∴∠ACB=90°弦BC=2cm，
∠ABC=60º．∴
⊙O的直径AB=2/cos60º=2÷1/2=4
（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD=BC=2cm时，CD与⊙O相切
（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t，连结EF，当t为1秒时，△BEF为直角三角形。

Answer 2

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°；
∴AB=2BC=4cm，即⊙O的直径为4cm．
（2）如图（1）CD切⊙O于点C，连接OC，则OC=OB=1 2 ×AB=2cm．
∴CD⊥CO；∴∠OCD=90°；
∵∠BAC=30°，
∴∠COD=2∠BAC=60°；
∴∠D=180°-∠COD-∠OCD=30°；
∴OD=2OC=4cm；
∴BD=OD-OB=4-2=2（cm）；
∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．
（3）根据题意得：
BE=（4-2t）cm，BF=tcm；
如图（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC；
∴BE：BA=BF：BC；
即：（4-2t）：4=t：2；
解得：t=1；
如图（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA；
∴BE：BC=BF：BA；
即：（4-2t）：2=t：4；
解得：t=1.6；
∴当t=1s或t=1.6s时，△BEF为直角三角形．

Answer 3

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°；
∴AB=2BC=4cm，即⊙O的直径为4cm．
（2）如图（1）CD切⊙O于点C，连接OC，则OC=OB=1 2 ×AB=2cm．
∴CD⊥CO；∴∠OCD=90°；
∵∠BAC=30°，
∴∠COD=2∠BAC=60°；
∴∠D=180°-∠COD-∠OCD=30°；
∴OD=2OC=4cm；
∴BD=OD-OB=4-2=2（cm）；
∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．
（3）根据题意得：
BE=（4-2t）cm，BF=tcm；
如图（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC；
∴BE：BA=BF：BC；
即：（4-2t）：4=t：2；
解得：t=1；
如图（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA；
∴BE：BC=BF：BA；
即：（4-2t）：2=t：4；
解得：t=1.6；
∴当t=1s或t=1.6s时，△BEF为直角三角形．

Answer 4

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