Question

设X服从参数设X服从参数为λ=1的指数分布,求Y=X^2的概率密度。

当y>=0时,为什么FY(y)=P{Y<=y}=P{x^2<=y}=P{-y^1/2<=x<=y^1/2}=FX(y^1/2)-F(-y^1/2)
这样求出来为什么和答案不同呢。

Answer 1

X的概率密度函数：
fX(x)={ e^-x , x>0
{ 0 , x<=0

Y=X^2
FY(y)=P{Y≤y}=P{X^2≤y}
当y≤0时，有FY(y)=P{X^2≤y}=0
当y>0时，有FY(y)=P{X^2≤y}=P{-√y≤x≤√y}=∫(-√y→√y)fX(x)dx
fY(y)=d[FY(y)]/dy
=d[∫(-√y→√y)fX(x)dx]/dy
=fX(√y)*(√y)'-fX(-√y)*(-√y)'
=fX(√y)*[1/(2√y)]-fX(-√y)*[-1/(2√y)]
=1/(2√y)*[fX(√y)+fX(-√y)]
=1/(2√y)*[e^(√y)+e^(-√y)]

所以Y的概率密度函数：
fY(y)={ 1/(2√y)*[e^(√y)+e^(-√y)] , y>0
{ 0 , y≤0

要注意积分上下限为变量的求导的方法，d[∫(-√y→√y)fX(x)dx]/dy=fX(√y)*(√y)'-fX(-√y)*(-√y)'这一步是关键

追问

但是答案却不是这样的呢？课后答案是：
fY(y)={ 1/(2√y)*[e^(-√y)] , y>0
{ 0 , y≤0

追答

不会哦！估计是课后答案印刷错误，我的数学教材也经常印错