Question

微积分,帮帮忙啊

设F(x,y,z)具有连续偏导数,且对任意实数t有F(tx,ty,tz)=t^kF(x,y,z),试证:曲面F(x,y,z)=0上任意的切平面交与一点.ps:我可以得到xFx+yFy+zFz=kF(x,y,z),怎么说明其交与一点
求旋转椭球面x^2+y^2+z^2/4=1在第一卦线部分上一点,使该点处的切平面在三个坐标轴上得截距平方和最小ps:我建立了方程怎么解不出来啊
非常感谢

Answer 1

对任意的(x0，y0，z0)，切平面方程为(x－x0)Fx(x0，y0，z0)++(y－y0)Fy(x0，y0，z0)+(z－z0)Fz(x0，y0，z0)=0，即xFx()+yFy()+zFz()=x0Fx()+y0Fy()+z0Fz()，括号在x0,y0,z0取值。
由条件可知去x＝y＝z＝k/3时，等式成立，即所有的切平面过(k/3，k/3，k/3)点。
切平面方程：(x－x0)*2x0+(y－y0)*2y0+(z－z0)*z0/2=0，与坐标轴的交点的三个非零坐标分别为
(1－x0^2)/x0+x0，(1－y0^2)/y0+y0，(1－z0^2/4)/(z0/4)+z0，即
1/x0，1/y0，4/z0，于是求1/x^2+1/y^2+16/z^2的最小值。
考虑F=1/x^2+1/y^2+16/z^2+a(x^2+y^2+z^2/4－1)，由驻点方程易知a＝x^(－4)=y^(－4)=64z^(－4)，于是x＝y＝z/(2根号(2))，驻点为x＝y＝1/2，z＝根号(2)。