Question

求教一条奥数题，高手请进：）

已知AB两地相距500千米，甲乙两人分别从A、B两地出发，分别以每小时20千米和每小时30千米的速度相向而行。另外，当甲从A地出发时，一狗也同时从A地出发与甲同向前进，狗的速度是每小时60千米，当狗与乙相遇时，马上原路返回，当再次与甲相遇时，又马上原路返回……直至甲乙两人相遇为止。期间，狗的速度保持不变。问：（1）在甲乙二人从出发到相遇期间，狗总共走了多少路程？（2）在此期间，狗往返了多少次（一次原路返回 当作往返一次）？

Answer 1

【解题思路】
第（1）题很简单，先不管狗，甲乙两人相向而行，根据相遇问题公式，可求出相遇时间为：
500 /（20+30）= 10（小时）

再讨论狗，由题意可知狗在这10小时内是保持60千米/小时 的速度匀速运动的，不要管它的具体运动状态(ˇˍˇ） 。

∴狗所走过的总路程就可以直接代公式，路程=速度*时间
即，60*10 = 600（千米）

第（2）题有点复杂，让我再想想……
我算到好像可以是往返无穷次的？

追问

第二问好像不是无穷次吧，帮帮忙啦再想想 还有无人识做……

追答

你说的“一次原路返回 当作往返一次” ，我的理解是“一往”+“一返” = “一次往返”，为方便计算，我先设从出发到掉头的时间为t，则掉头后返回到第二次掉头的时间为t，下标表示掉头的次数。

第（2）题：
解：引入数列{tn}，设t为狗从第i-1次掉头到第i次掉头所需时间（i∈N）。
依题意得，{tn}为正数列，即t ＞0

t1 = 500 /(50+30)= 5/8（小时）
t2 = [500-(20+30)*t1] /(50+20) = 5(10-t1) /7（小时）
t3 = [500-(20+30)*t1- (20+30)*t2] /(50+30) = 5(10-t1-t2) /8（小时）
……
如此类推，
①当n为奇数时，
t = [500 - 50*t1 - 50*t2 -……- 50*t] /(50+30)
= 5(10-t1-t2-……-t) /8（小时）
又由{tn}为正数列，可知{tn}为递减数列，即 t ＜ t
且有，t1 + t2 +……+ t = 10 - (8/5)* t
即， t1 + t2 +……+ t = 10 - (3/5)* t

②当n为偶数时，
t = [500 - 50*t1 - 50*t2 -……- 50*t] /(50+20)
= 5(10-t1-t2-……-t) /7（小时）
又由{tn}为正数列，可知{tn}为递减数列，即 t ＜ t
且有，t1 + t2 +……+ t = 10 - (7/5)* t
即， t1 + t2 +……+ t = 10 - (2/5)* t

假设狗共需M次掉头
由题意，得
lim Σt = 10（小时） （其中，i=1→n 且n→M）

当M为奇数时，
lim Σt = 10 - (3/5)* t = 10
∴ n→M时，limt = t = 0
当M为奇数时，
lim Σt = 10 - (2/5)* t = 10
∴ n→M时，limt = t = 0

综上所述，{tn}为递减的正数列，且当n→M时，limt = 0。
根据极限的性质，M=+∞
换言之，狗往返次数为无穷次。

【评价】
其实，在实际情况中，往返次数为无穷次是不可能的。因为上述论证是建立在 把甲乙二人和狗看作三个没有体积的动点 这一假设上的。显然两人和狗的体积不为零。所以原假设就不成立。当二人的身体碰到狗的身体时，狗自然就停止运动了。

解答只作胡诌一番，娱乐大众而已~~

Answer 2

因为狗是来回跑，所以与甲乙相向运动没有关系，所以甲乙到相遇需要500/（20+30）=10小时，狗在此期间是持续运动的，所以狗运行了60*10=600km。
当狗第一次与乙相遇，共用去500/（60+30）=50/9小时，甲乙之间距离为500-（20+30）*50/9=2000/9km，此时狗向甲跑，与甲第一次相遇用去（2000/9）/（20+60）=25/9小时，此时甲乙之间距离为2000/9-（20+30）*25/9=250/3km，
此为第一个来回；
第二次与乙相遇用去（250/3）/（60+30）=25/27小时，甲乙之间距离为250/3-（20+30）*25/27=1000/27km，此时狗向甲跑，与甲第二次相遇用去（1000/27）/（60+20）=12.5/27小时，此时甲乙之间距离为1000/27-（20+30）*12.5/27=125/9km，此为第二个来回；
第三次与乙相遇用去（125/9）/（60+30）=12.5/81小时，甲乙之间距离为125/9-（20+30）*12.5/81=500/81km，此时狗向甲跑，与甲第二次相遇用去（500/81）/（60+20）=6.25/81小时，此时甲乙之间距离为500/81-（20+30）*6.25/81=187.5/81km，此为第二个来回；
……
依次类推，推算至相遇时间大概为1秒时即可（例如第二次的相遇时间(6.25/81)*3600秒/小时=277.777秒），这里就不叙述了。

Answer 3

第一问楼上的回答很好！！
第二问就是无数次。理论上，狗返回的时间是越来越小，但是一直没有极限！除非是到小于一米，或者其他的条件出现，才能算出往返的次数。

Answer 4

甲乙两人相遇时，狗最后一次往返需要时间t
20km/h=5.6m/s，30km/h=8.3m/s,60km/h=16.6m/s即最后一次往返需要(5.6+8.3)*t>=16.6
t.=1.19s
当狗与乙第一次相遇时，30*t1+60*t1=500则
t1=50/9
当狗与甲第一次相遇时，20*（t1+t2）+60*t2+30*t1=500则
t2=25/9
当狗与乙第二次相遇时，20*(t1+t2)+30*（t1+t2+t3)+60*t3=500
t3=25/27
当狗与甲第二次相遇时，20*(t1+t2+t3+t4)+30*(t1+t2+t3)+60*t4=500
t4=25/54
当狗与甲第三次相遇时，20*（t1+t2+t3+t4）+30*（t1+t2+t3+t4+t5）+60*t5=500
t5=25/162
当狗与甲第三次相遇时，20*（t1+t2+t3+t4+t5+t6）+30*（t1+t2+t3+t4+t5）+60*t6=500
t6=25/324
可以推出
t7=t5/6=25/972
t8=t6/6=25/1944
t9=t7/6=25/5832
t10=t8/6=25/11664
t11=t9/6=25/34992
f12=t10/6=25/69984=1.28s
t13=t11/6=25/209964=0.43s
所以狗要往返12次
期间路程=(t1+t2+.....+t12)*60=599.9871