Question

已知函数f(x)=ln(x+1)/(x-1)(Ⅰ)求函数的定义域.并证明f(x)=ln(x+1)/(x-1)在定义域上是奇函数

（Ⅱ）若x属于[2,6]f(x)=ln(x+1)/(x-1)＞ln(m)/(x-1)(x-7)恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]，(Ⅰ)求函数的定义域.并证明f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]在定义域上是奇函数；（Ⅱ）若x属于[2，6]，f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]＞ln[m/(x-1)(x-7)]恒成立，求实数m的取值范围
解：(1). 定义域：由(x+1)/(x-1)>0，得定义域为x<-1，或x>1，即定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)；
定义域关于原点对称，且f(-x)=ln[(-x+1)/(-x-1)]=ln[(x-1)/(x+1)]=ln[(x+1)/(x-1)]ֿ¹=-ln[(x+1)/(x-1)
=-f(x)，故f(x)是奇函数。
(2).y=lnx是增函数，故由ln[(x+1)/(x-1)]＞ln[m/(x-1)(x-7)]得(x+1)/(x-1)>m/(x-1)(x-7)
移项得(x+1)/(x-1)-m/(x-1)(x-7)=[(x+1)(x-7)-m]/(x-1)(x-7)=(x²-6x-7-m)/(x-1)(x-7)>0.........(1)
不等式(1)在区间[2，6]上恒成立，此时有x-1>0，x-7<0，故有(x-1)(x-7)<0，故要(1)成立，必须
G(x)=x²-6x-7-m<0在区间[2，6]上恒成立；由x²-6x-7-m=(x-3)²-16-m<0，知其对称轴为x=3，故
只需G(6)=36-36-7-m=-7-m<0，即只需m>-7及G(2)=4-12-7-m=-15-m<0，得m>-15；
{m︱m>-7}∩{m︱m>-15}={m︱m>-7},，这就是m的取值范围。

Answer 2

定义域是-1<x<1

奇函数证明f(-x)=-f(x)就可以了

追问

第一问我会，第二问呢？

追答

f(x)是增函数

追问

能写一下过程吗？

追答

(x+1)/(x-1)＞(m)/(x-1)(x-7)＞0在[2,6]成立就可以了

Answer 3

右边除到左边，证明单调递加，最小值大于0

追问

能写一下过程吗？