Question

就是A的坐标为(-1,1)B为(1,-1)P为X轴上的动点,求AP+2BP的最小值

Answer 1

解：令P(x,0)，很明显，-1<=x<=1

否则总是存在点P'介于(±1,0)和点P之间，使得AP'<AP且BP'<BP

法一：运用拉格朗日乘数法求解

AP=√[(x+1)^2+(0-1)^2]，BP=√[(x-1)^2+(0+1)^2]

设y=AP+2BP

则y=√(x^2+2x+2)+2√(x^2-2x+2)

y'=(x+1)/√(x^2+2x+2)+(2x-2)/√(x^2-2x+2)

解方程y'=0

(x+1)/√(x^2+2x+2)=(2-2x)/√(x^2-2x+2)

(x^2+2x+1)/(x^2+2x+2)=(4x^2-8x+4)/(x^2-2x+2)

(x^2+2x+2)(4x^2-8x+4)=(x^2+2x+1)(x^2-2x+2)

3x^4-3x^2-10x+6=0

x≈0.54，或x≈1.53（舍去）

所以所求点P坐标约为(0.54,0)

法二：运用物理学最短光程原理和折射定律求解

法二 示意图

最短光程原理为“光传播的路径必定是所需时间最短的路径”

光在两种不同介质中从点A传播到点B，在介质分界处（x轴）发生折射

所需时间t=AP/u+BP/v=[AP+(u/v)*BP]/u，其中u,v分别是光在两种介质中的传播速度

由于u,v是定值，因此当所需时间t最短时，AP+(u/v)*BP取得最小值

根据题意，要求AP+2BP的最小值，因此我们令u/v=2

又根据折射定律，u/v=sinα/sinβ=2

所以sinα=2*sinβ

AC/AP=2*BD/BP

(x+1)/√[(x+1)^2+(0-1)^2]=2*(1-x)/√[(x-1)^2+(0+1)^2]

(x+1)/√(x^2+2x+2)=(2-2x)/√(x^2-2x+2)

后续计算与法一相同