Question

AB是圆O的直径，AE平分∠BAF，交圆O于点E，过直线做ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于C。

若CB=2，CE=4，求AE的长。

Answer 1

连结OE，设圆的半径为r，r=AO=OB=OE
∴角OEA=角OAE
∵AE是角CAD的角平分线，即角CAE=角DAE
∴角OEA=角EAD
∴OE∥AD
∵AD⊥CD
∴OE⊥CD，即CD是圆O的一条切线
根据圆的切割定理，得CB×AC=CE²
∴AB=6，即r=3
又∵OE∥AD
∴△OEC∽△ACD
∴AC/OC=CD/CE
求得 DE=12/5,AD=24/5
∴AE=12根号5/5
希望没做错

Answer 2

取AB中点O，连接OE,AE,则∠OAE=∠OEA
因为AE平分∠BAF，所以∠OAE=∠DAE
所以∠DAE=∠OEA
所以OE‖AD
又ED⊥AF,所以ED⊥OE，从而CD⊥OE
所以CD是⊙O的切线
2、设圆的半径为r，在直角三角形OEC中，OE=r,OC=2+r,CE=4
由勾股定理：OE^2+CE^2=OC^2
即r^2+16=(2+r)^2
解得：r=3
由1知OE‖AD
所以CO/CA=CE/CD,即5/8=4/CD,CD=32/5
所以ED=CD-CE=32/5-4=12/5
在直角三角形ADC中，AD^2=AC^2-CD^2
在直角三角形ADE中,AD^2+ED^2=AE^2
所以AE^2=64-(32/5)^2+(12/5)^2=720/25
所以AE=(12根号下5)/5