Question

在等腰△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45° 求证：DE²=AD²+BE²

Answer 1

证明：作BF垂直AB，使BF=AD（F和C在AB同侧）连接CF，EF.
则：EF²=BF²+BE²；∠CBF=∠A=45°。
又BC=AC;BF=AD.则：⊿CBF≌⊿CAD（SAS），CF=CD;∠BCF=∠ACD.
∴∠DCF=∠ACB=90°;
∵∠DCE=45°.
∴∠FCE=∠DCE=45°;又CF=CD;CE=CE.
∴⊿FCE≌⊿DCE(SAS),EF=DE.
故:DE²=BF²+BE²=AD²+BE²。（等量代换）

追问

还有其他解法吗？

Answer 2

证明：
将三角形BCE绕点C顺时针旋转90°，得到△CAP，连接PD
则AP=BE，∠PCA=∠BCE，CP=CE
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°
∴∠ACP+∠ACD=∠ACD+∠BCE=45°
∴∠PCD=∠ECD=45°
∵CD=CD
∴△PCD≌△ECD
∴PD=DE
∵∠PAC=∠B=∠CAD=45°
∴∠PAD=45°
∴PD²=PA²+AD²
∴DE²=AD²+BE²

追问

还有其他解法吗？

追答

过点A作AD的垂线AP，使AP=BE，连接DP
后面差不多，证明△ACP≌△BCE就可以了

（P，C在AB的同侧）
还有一个方法是将△ACD沿着CD翻折，得到△CDM，连接ME
可得△CME与△BCE全等
则AD=DM，BE=EM，∠DME=90°
∴DE²=DM²+EM²=AD²+BE²

Answer 3

符合减免