怎么求这个二重积分

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呱呱鱼亭上头0io
2019-07-25 · TA获得超过1094个赞
知道小有建树答主
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二重积分的计算方法

丘冷萱Ad
2012-03-26 · TA获得超过4.8万个赞
知道大有可为答主
回答量:5205
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1、∫ [π/2-->3π/4]dθ ∫[2sinθ-->2/sinθ] r²sinθ dr+∫ [3π/4-->π]dθ ∫[2sinθ-->-2/cosθ] r²sinθ dr
2、y=2x对应的角度θ=arctan2
∫ [π/4-->arctan2]dθ ∫[0-->2/sinθ] (r²-rcosθ)rdr
更多追问追答
追问
忘了跟你说了,这个不是转换为极坐标,你看题目
追答
惯性定律,以为还是极坐标的问题呢。
1、先积x,
∫[0-->2]dy∫[-2-->-√(2y-y²)] ydx
=∫[0-->2] y(2-√(2y-y²)) dy
=∫[0-->2] 2ydy-∫[0-->2] y√(2y-y²) dy
=y² |[0-->2] - ∫[0-->2] y√(1-(y-1)²)dy
=4-∫[0-->2] y√(1-(y-1)²)dy
令y-1=sinu,则√(1-(y-1)²)=cosu,dy=cosudu,u:-π/2-->π/2
=4-∫[-π/2-->π/2] (sinu+1)cos²udu
sinucos²u是奇函数,对称区间上的积分为0
=4-∫[-π/2-->π/2] cos²udu
=4-2∫[0-->π/2] cos²udu
下面可直接降幂计算,我换个方法,这个方法也是常用的一个化简计算的方法
=4-∫[0-->π/2] cos²udu-∫[0-->π/2] sin²udu 原因是f(sinx)与f(cosx)在0-->π/2的积分相等
=4-∫[0-->π/2] 1du
=4-π/2

2、先积x
∫[0-->2]dy∫[y/2-->y] (x²+y²-x)dx
=∫[0-->2] (1/3x³+xy²-1/2x²) |[y/2-->y] dy
=∫[0-->2] (19/24y³-3/8y²) dy
=(19/96y⁴-1/8y³) [0-->2]
=19/6-1
=13/6
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