Question

在三角形ABC中，已知向量AB AC=9, sinB=cosA sinC, S三角形ABC=6，

P是线段AB上的一点且向量CP=x*向量CA/向量CA的模+y*向量CB/向量CB的模，则1/x+1/y最小值为______________

Answer 1

设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵AB•AC=9，S△ABC=6
∴bccosA=9，1／2bcsinA=6
∴tanA=4／3，sinA=4／5，cosA=3／5，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC为x轴，以BC为y轴，建立直角坐标系
C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得CP=λCA+(1-λ)CB=（3λ，4-4λ）
设CA|CA|=e1，CB|CB|=e2
|e1|=|e2|=1，e1=(1，0)，e2=(0，1)
∴CP=xCA／|CA|+yCB／|CB|=（x，0）+（0，y）=（x，y）
∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12
1／x+1／y=1±12(1／x+1／y)(4x+3y)=1／12(7+3y／x+4x／y)≥7／12+√3／3

追问

“设CA|CA|=e1，CB|CB|=e2”（这里会不会是CA/|CA|=e1，CB/|CB|=e2呢？是一个比值呢？）
|1／x+1／y=1±12(1／x+1／y)(4x+3y)=1／12(7+3y／x+4x／y)≥7／12+√3／3 ”
其中“1±12(1／x+1／y)(4x+3y)=1／12(7+3y／x+4x／y)”这一步是怎么化出来的呢？能解释一下吗？谢谢！

Answer 2

解：设向量CA/|CA|=a,则向量a为单位向量，同理设向量CB/|CB|=b；
∵sinB=cosAsinC ∴AC=ABcosA
又∵S⊿ABC=1/2ABACsinA =6 ABAC=9
∴