Question

在三角形ABC中，已知sinB=cosAsinC，向量AC·向量AB=9，三角形的面积为6，求：角C 以及 三角形的三边长。

Answer 1

因为sinB=cosAsinC 所以b=csinA=c(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+c^2-a^2)/2b 所以2b^2=b^2=c^2-a^2 即c^2=a^2+b^2 所以C=90‘ 向量AC*向量AB=向量AC*（向量AC+向量CB）=|AC|^2+向量AC*向量CB=|AC|^2=9 所以b=AC=3, 又S=ab/2=6 所以a=4 c=5

Answer 2

sinB＝sin﹙A+C﹚＝sinAcosC+cosAsinC＝cosAsinC sinAcosC＝0 cosC＝0 ∠C＝90º

向量AC·向量AB＝bccosA＝9 三角形的面积＝﹙1/2﹚bcsinA＝6 得到tanA＝4/3

∴AC＝3 CB＝4 AB＝5

Answer 3

sinB=cosAsinC
sin(A+C)=cosAsinC
sinAcisC=0
sinC=0,C=90度
S＝1/2｜AB｜｜AC｜sinA=1/2(AB*AC)/cosA*sinA
故tanA=4/3
设BC＝4m,AC=3m
S=1/2*4m*3m=6, m=1
故BC＝4,AC＝3, AB＝5

Answer 4