Question

考研数三要了解极坐标系下二重积分的计算，了解程度是什么

二重积分计算中关于对曲边梯形面积求出后再对他求积分便求出体积，是不是说体积是面积的积分啊……谢谢

Answer 1

这是我回答一个类似问题的答案：
在用极坐标求二重积分时，学会怎样定ρ和θ的上下限就行了:
在一般的过程中都是先积分ρ，后积分θ，所以θ得上下限一定是常数
1：θ的确定：用起点在原点的射线，从x轴的正半轴开始逆时针扫描，看这条射线在多少度角时开始接触到二重积分的边界曲线，此角度为下限，再扫描，看在多少度角时开始离开二重积分的边界曲线，此角度为上限。
2：ρ的确定：在θ上下限的范围内，从原点引出射线，穿过积分范围。穿入的这边即为ρ的下限曲线，传出的这边即为ρ的上限曲线。至于怎样求ρ关于θ的关系式，更简单：直接用x=ρcosθ；y=ρsinθ代入上下边界曲线即可。如：若边界曲线为（x－2）²＋y²=4；代入x=ρcosθ；y=ρsinθ得
ρ（ρ－4cosθ）=0 推出ρ=4cosθ

至于你问的第二个问题，我想你没理解积分的意义：
他们的意义在于所谓的积分就是一种和的极限，而这个和所代表的量的性质是与所求量是相同的

例子：
求曲边梯形的面积（定积分）是无限多个小曲边梯形面积和的极限
求曲顶柱体的体积（二重积分）是无限多个小曲顶柱体体积和的极限

所以二重积分计算中关于对曲边梯形面积求出后再对他求积分便求出体积，并不是说体积是面积的积分。因为体积和面积这两个量性质不同。但小长方体的体积等于底面积乘以高。所以假如你求出了曲边梯形面积，设为f（y）的话，那么f（y）dy就可看成是小曲顶柱体的体积，再把所有小曲顶柱体的体积累加在一起，也就是对f（y）dy求积分，就得到了整个曲顶柱体的体积。

如果还有什么不明白可以看高数上册，定积分应用那一章里有关已知平行截面面积求体积的知识，或再问我。

口才不好，希望你能明白我的意思。