Question

已知函数f(x)=log1/2(1/2sin2x) (1)求函数的定义域，值域和单调区间 （2）判断函数奇偶

Answer 1

（1）f(x)=log1/2(1/2sin2x) 得：
sin2x＞0
2kπ＜2x＜π+2kπ
函数的定义域： kπ＜x＜π/2+kπ
值域：（0，+无穷大）
周期函数y=sin2x>0时的值域为(0，1]，相应的定义域为{x|kπ≤x≤kπ+(π/2)}；
由复合函数“同增异减”的规律，可知：
原函数的单调递减区间为{x|kπ≤x≤kπ+(π/4)}；
原函数的单调递增区间为{x|kπ+(π/4)≤x≤kπ+(π/2)}
即单调区间：（kπ，π/4+kπ] [π/4+kπ,π/2+kπ)
（2）)f(-x)=1+log1/2|(sin2(-x))=1+log1/2|(-sin2x)≠±f(x)；
因此原函数非奇非偶

Answer 2

解：
(1)y=log1/2|((1/2)×sin2x)=1+log1/2|(sin2x)
sin2x>0，解之得所求的定义域为：{x|kπ≤x≤kπ+(π/2)}
(2)f(-x)=1+log1/2|(sin2(-x))=1+log1/2|(-sin2x)≠±f(x)；
因此原函数非奇非偶
(3)观察y=1+log1/2|(sin2x)，其周期性由周期函数y=sin2x决定，
则其最小正周期为T=2π/2=π
(4)周期函数y=sin2x>0时的值域为(0，1]，相应的定义域为{x|kπ≤x≤kπ+(π/2)}；
由复合函数“同增异减”的规律，可知：
原函数的单调递减区间为{x|kπ≤x≤kπ+(π/4)}；
原函数的单调递增区间为{x|kπ+(π/4)≤x≤kπ+(π/2)}