在三角形ABC中，AB=2√5,AC=4,BC=2,以AB为边向三角形ABC外作三角形ABD,使三角形ABD为等腰三角形求线段长急
根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．
解：
∵AC=4，BC=2，AB=2倍根号5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），
∵△ABD为等腰直角三角形（已知），
∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），
∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），
∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），
在△ACB与△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2倍根号10；
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD为等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB与△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证） AB=DA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等）
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2倍根号13；
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3倍根号2．
三角形ABC为直角三角形
AB的平方=AD的平方+BD的平方，AD=BD=根号10
以AB的中点0为圆心，以根号5为半径画圆
连接CO，DO，DC
角COD=角BOD+角COB
根据余弦定理求得角COS 角COB=3/5. 角COB=53度
所以；角COD=90+53=143度
COS 角COD=[5+5-CD平方]/（2*5）=COS143度=-4/5
求解得；CD=3根号2
因为AB=2倍根号五 AB的平方等于20，AC平方等于16，BC平方=4，根据勾股定理得三角形ABC为直角三角形，c为直角，AB边是斜边； 在等腰直角三角形ADB中，AB边也为斜边，所以根据定理可知，若以AB边为直径做圆，点C和点D都在圆的边上。（圆的边上任一点与直径可构成直角三角形） 也就是说 ABCD 四个点构成一个圆，所以CD的连线也是一条直径，即CD=AB=2倍根号五
不知道解释清楚没 有问题可以再问我
