Question

关于概率论三个题

【1】
某型号飞机雷达发射管的寿命X（单位，小时）服从参数为0.005的指数分布，求下列事件的概率
1.发射管寿命不超过100小时
2，发射管寿命不超过300小时
3，一只发射管寿命不超过100小时，另一只在100至300小时之间

【2】公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的，设成年男性身高X，单位，厘米。服从正态分布N(170,6^),问车门最低高度应为多少

【3】
2，发射管寿命【超过300小时】，修改

Answer 1

某型号飞机雷达发射管的寿命X（单位，小时）服从参数为0.005的指数分布
则f(x)=0.005e^(-0.005x),x>0；f(x)=0,x<=0
1.发射管寿命不超过100小时
P(X<=100)=1-e^(-0.5)=0.393469340287367
2，发射管寿命超过300小时
P(X>300)=e^(-1.5)=0.22313016014843
3，一只发射管寿命不超过100小时，另一只在100至300小时之间
P(100<X<300)=e^(-0.5)-e^(-1.5)=0.170339180138937
所以概率为2*P(100<X<300)*P(X<=100)=0.134046489668717

公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的，设成年男性身高X，单位，厘米。服从正态分布N(170,6^),
设车门高度为K，则P(X>K)<=0.01
P(X>K)=1-P(X<=K)<=0.01,P(X<=K)>=0.99,P[(X-170)/6<=(K-170)/6)>=0.99,φ(K-170)/6)>=0.99,K-170)/6>=2.33,
所以K>=183.98
车门最低高度应为183.98厘米。

Answer 2

1:密度函数f(x)=0.005e^(-0.005x)
分布函数F(x)=1-e^(-0.005x)
1 发射管寿命不超过100小时
P(x<100)=F(100)=1-e^(-0.5)=0.3934
2 发射管寿命超过300小时。
P(X>300)=1-P(x<300)=1-F(300)=e^(-1.5)=0.2231
3 一致发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间。
假设两只管相互独立，则
2*P(x<100)*P(100<x<300)=2*F(100)*(F(300)-F(100))=2*0.3934(0.7768-0.3934)=0.3016
X~N(170,36),其分布函数F（x），对任意实数x，有：
F(x)=Φ【（x-170）/6】
又公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的，
则：
1-F(x)≦0.01
F(x)≧0.99
又问车门最低高度，即：

Φ【（x-170）/6】≧0.99查表知
（x-170）/6≈1.29
解得：
x=177.74