Question

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=3,P是BC上的一点,PE∥AB交AC于点E,PF∥CD交BD于点F.

设PE、PF的长分别为m,n,x=m+n.那么当点P在边BC上移动时，x的值是否变化？若变化，求出x的取值范围；若不变，求出x的值，并说出理由。

Answer 1

过F做PC的平行线交DC于G
因为PF//DC，G在DC上，所以PF//GC
又FG//PC故四边形FGCP是个平行四边形（两对边分别平行的四边形是平行四边形）
所以FG=PC(1)，FP=GC(2) (平行四边形两对边分别相等）
因为这是个等腰梯形，所以角DBC=角ACB（这个虽然不能直接得出，但是你肯定知道为什么）
又FG//PC且P在BC上，所以FG//BC，所以角DFG=角DBC=角ACB（3）
因为EP//AB，所以角EPC=角ABC，且等腰梯形中两底角相等即角ABC=角DCB就等于角EPC
因为FG//BC，所以角DGF=角DCB
因为角DCB还等于角EPC，所以角DGF=角EPC（4）
在三角形DGF和三角形EPC中有（1），（3），（4）即满足两个三角形两角及其所夹边对应相等，所以这两个三角形全等
则有EP=DG，且在平行四边形FGCP中 有FP=GC，又GC+DG=DC
所以PE+PF=DC，这是个等腰梯形，AB=DC，所以PE+PF=AB

Answer 2

,P是BC上的一点,PE∥AB交AC于点E,PF∥CD交BD于点F.
所以DC:PF=BC:BP AB:PE=BC:PC
PF=DC*BP/BC PE=AB*PC/BC
AB=DC=3
PF+PE=(BP+PC)*AB/BC=BC*AB/BC=3