Question

{(1+x)^1/x-e}/x在x趋于0时的极限！！

Answer 1

{(1+x)^1/x-e}/x
={e^[ln(1+x)]/x-e}/x
=lim(x--->0)e(e^(ln(1+x)/x-1)-1)/x
=e*lim(x-->0)(ln(1+x)/x-1)/x
=e*lim(x-->0)(ln(1+x)-x)/x²
=e*lim(x-->0)(1/(1+x)-1)/2x
=elim(x-->0)(-x/(1+x))/(2x)
=-e/2

Answer 2

当x趋于0时，e^x-1和x是等价无穷小，可以相互替换。本题中ln(x+1)/x-1相当于刚才式中的x，因此e^[(ln(x+1)/x-1]-1和ln(x+1)/x-1是等价无穷小，替换后得[ln(x+1)/x-1]/x=[ln(1+x)-x]/x^2。其实这题没必要做的这么麻烦，用泰勒公式展开挺简单的。

Answer 3

显然，不难看出，答案等于-e/2