Question

求定积分∫(上限x,下限0){ln(1+sinx)}dt

Answer 1

这是一个比较复杂的积分，需要使用一些技巧来求解。我们可以使用分部积分法和换元法来求解该积分。
首先，让我们对积分式中的ln(1+sinx)进行分部积分。令u=ln(1+sinx)，dv=dx，则有：
du/dx = 1/(1+sinx)cosx
v = x
根据分部积分公式，可得：
∫ln(1+sinx)dx = xln(1+sinx) - ∫x/(1+sinx)cosxdx
接下来，让我们尝试用换元法来求解剩余的积分∫x/(1+sinx)cosxdx。令u = 1+sinx，则du/dx = cosx，dx = du/cosx，因此：
∫x/(1+sinx)cosxdx = ∫x/u du = ∫(u-1)/u du
这个积分可以通过分解分式为(u-1)/u = 1 - 1/u，并对每一项分别积分来求解。因此：
∫(u-1)/u du = ∫du - ∫1/u du = u - ln|u| + C
将u = 1+sinx代入上式，可得：
∫x/(1+sinx)cosxdx = (1+sinx) - ln|1+sinx| + C
将以上两个积分结果代入原始积分式，可得：
∫(上限x,下限0){ln(1+sinx)}dx = xln(1+sinx) - (1+sinx) + ln|1+sinx| + C
将上限x代入上式，再减去下限0代入的结果，可得：
∫(上限x,下限0){ln(1+sinx)}dx = xln(1+sinx) - (1+sinx) + ln|1+sinx| - ln2
因此，该积分的结果为 xln(1+sinx) - (1+sinx) + ln|1+sinx| - ln2 + C，其中C为任意常数。