多项式f(x)除以x^4+x^2+1所得的余式为x^3+2x^2+3x+4,证明f(x)除以x^2+x+1所得的余式为x+3
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多项式f(x)除以x^4+x^2+1所得的余式为x^3+2x^2+3x+4，则
多项式f(x)=(x^4+x^2+1)A+(x^3+2x^2+3x+4)
=[(x^4+2x^2+1) - x^2]A +(x^3+2x^2+3x+4)
=[(x^2+1)^2-x^2]A + [(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)+x+3]
=[ (x^2+x+1)(x^2-x+1)]A + [(x^2+x+1)(x+1)]+ (x+3)
所以f(x)除以x^2+x+1所得的余式=x+3
多项式f(x)=(x^4+x^2+1)A+(x^3+2x^2+3x+4)
=[(x^4+2x^2+1) - x^2]A +(x^3+2x^2+3x+4)
=[(x^2+1)^2-x^2]A + [(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)+x+3]
=[ (x^2+x+1)(x^2-x+1)]A + [(x^2+x+1)(x+1)]+ (x+3)
所以f(x)除以x^2+x+1所得的余式=x+3
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设：f(x)=M(x^4＋x²＋1)＋(x³＋2x²＋3x＋4)
因为：x^4＋x²＋1=(x²＋1)²－x²=(x²＋x＋1)(x²－x＋1)，即：x^4＋x²＋1可以被x²＋x＋1整除
x³＋2x²＋3x＋4=x(x²＋x＋1)＋(x²＋x＋1)＋(x＋3)，即x³＋2x²＋3x＋4除以x²＋x＋1的余式是x＋3
所以f(x)除以x²＋x＋1的余式是x＋3
因为：x^4＋x²＋1=(x²＋1)²－x²=(x²＋x＋1)(x²－x＋1)，即：x^4＋x²＋1可以被x²＋x＋1整除
x³＋2x²＋3x＋4=x(x²＋x＋1)＋(x²＋x＋1)＋(x＋3)，即x³＋2x²＋3x＋4除以x²＋x＋1的余式是x＋3
所以f(x)除以x²＋x＋1的余式是x＋3
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