Question

证明方程x5+x+1=0在区间(-1，0)内有且只有一个实根。

Answer 1

【答案】：设f(x)=x⁵+x+1，显然f(x)在[-1，0]上连续，且f(-1)=-1，f(0)=1。
由零点定理得在(-1，0)上，至少有一点ξ，使得f(ξ)=0，即方程x⁵+x+1=0在区间(-1，0)内至少有一个实根，
又因为f'(x)=5x⁴+1＞0，故f(x)在区间(-1，0)单调递增，即f(x)在区间(-1，0)上至多有一个零点。
综上，方程x⁵+x+1=0在区间(-1，0)内有且只有一个实根。