Question

拉格朗日中值定理的证明

Answer 1

拉格朗日中值定理是以(罗尔定理)为基础更进一步的思想,也可以把罗尔定理看作拉格朗日中值定理的一个特殊情况,拉格朗日中值定理经常在题目中以不等式的证明出现。

拉格朗日中值定理（英文：Lagrange mean value theorem或Lagrange’s Mean Value Theorem，又称：拉氏定理、有限增量定理）是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。1797年，拉格朗日中值定理被法国数学家约瑟夫·拉格朗日在《解析函数论》中首先给出，并提供了最初的证明。

现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家O.博内给出。拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系, 在研究函数的单调性、凹凸性以及不等式的证明等方面, 都可能会用到拉格朗日中值定理。