Question

特急 ！！三角形的数学题 AD是△ABC的角平分线（或△ABC的外角平分线）若AB=AD作CE⊥AD于点E。

特急 ！！三角形的数学题
AD是△ABC的角平分线（或△ABC的外角平分线）若AB=AD作CE⊥AD于点E。
（1）如图甲，求证AD+2DE=AC
（2）如图乙，当AD为△ABC的外角平分线时，试判断线段AD,DE和AC之间的数量关系，并说明理由
（3）如图丙，当AD为△的外角平分线是，请直接写出AD,DE和AC之间的数量关系

Answer 1

1）延长AD到F,使DE=DF,连接CF，则 ∠CFE = ∠CDE. CF=AC
因为AB =AD ，所以 ∠ABD=∠ADB
又因为 ∠ADB = ∠CDE ,所以 ∠CFE=∠ADB
因为AD为∠BAC的角平分线，所以 ∠BAD=∠DAC
所以 △ABD相似于△AFC
所以 ∠ABD= ∠ACF
即 ∠AFC=∠ACF
所以 AB = AC
即 AD+2DE = AC
2)延长DE至点F，使AE =EF，连接CF ， 则 ∠CFE = ∠CAE. CF=AC
因为AB =AD ，所以 ∠ABD=∠ADB
又因为 ∠DAG = ∠CAE ,所以 ∠CFE=∠DAG
因为AD为∠BAC的角平分线，所以 ∠BAD=∠DAG
所以 ∠CFE = ∠BAD.
所以 △ABD相似于△CDF
则 ∠FCD=∠ABD
所以∠FCD= ∠FDC
即 CF=FD=AD+2AE=AC
3)
AD+AE=2AC

Answer 2

第一题答案：
在原图基础上延长AB、延长CE相交于点F，延长DE到点G，连接CG，使DE=EG。
因为∠EAG=∠CAG，AE=AE,∠AEF=∠AEC=90°,则△ADE=△ADC，△AGF=△AGC则得出AF=AC，DF=DC，GF=GC，
DG=2DE=DE+EG，则AG=AD+DE+EG。
由于△ADE为等腰三角形，则∠AGC=∠CDG=∠ADB，得出BD平行于FG，则△AGF为等腰三角形，则AG=AF=AC=AD+2DE。
（以上按照想象的图形来写出来的论证过程，具体的请再斟酌和调整顺序。）
没有笔纸，二三题貌似复杂些，一时半会儿没想出来，请见谅。

Answer 3

（1）延长AE至H，使得EF=DE
AD+2DE=AC 即转化为证明AD+DE+DH=AC 也就是证明AH=AC 理由如下：
∵CE⊥AD ，DE=EH
在△CDE和△CHE中，CE=CE,∠CED= ∠CEH,DE=EH
∴△CDE≡△CHE ∴CD=CH ∠H=∠CDH
又∵AB=AD,∴∠B=∠ADB,因为∠CDH=∠ADB所以∠B=∠H
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△AHC中，∠B=∠H ∴∠ADB=∠ACH
∴∠AHC=∠ACH ∴AH=AC 即AD+2DE=AC

Answer 4

简单写下（1），取AC线段上F点，使得CF=DE，连接EF,即证AD+DE=AC-CF,即AD+DE=AF,即AE=AF,即证角AEF=角AFE,通过角度的关系，最后可以得到角AEF=角B，角AFE=角B，故角AEF=角AFE,（可以把角用未知数设起来，转化试试）得证。
明天再证（2）（3），你先把（1）弄懂

Answer 5

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