Question

一个3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，而这个矩阵只有一个3重根的特征值，求矩阵的秩

Answer 1

满秩为3。

设三阶方阵A的三重特征根为c

首先看这唯一的特征值c是不是0

1、如果c是0。那么Ax=cx=0。那么由于矩阵只有2个线性无关的特征向量。即解空间的维数等于2 

那么rkA=n-dim解空间=3-2=1

2、如果c非0 那么A的行列式值为c的3次方，就是说A是非奇异的。所以满秩为3。

扩展资料

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

Answer 2

设三阶方阵A的三重特征根为c

首先看这唯一的特征值c是不是0

如果c是0，那么Ax=cx=0 那么由于矩阵只有2个线性无关的特征向量，即解空间的维数等于2，那么rkA=n-dim解空间=3-2=1

如果c非0，那么A的行列式值为c的3次方，就是说A是非奇异的，所以满秩为3。

扩展资料：

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

Answer 3

设三阶方阵A的三重特征根为c
首先看这唯一的特征值c是不是0
1 如果c是0 那么Ax=cx=0 那么由于矩阵只有2个线性无关的特征向量，即解空间的维数等于2 那么rkA=n-dim解空间=3-2=1

2 如果c非0 那么A的行列式值为c的3次方 就是说A是非奇异的 所以满秩为3

Answer 4

你好！反证法：由于对应于不同特征值的特征向量线性无关，所以若三阶矩阵有两个不同的特征值，则至少有两个线性无关的特征向量，矛盾。所以三阶矩阵没有不同的特征值，即特征值是三重根。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！