Question

用数学归纳法证明 1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+........+n*1=六分之一n(n+1)(n+2)

Answer 1

证明：
（1）n=1时,左=1=右。所以等式成立
（2）假设n=k时，有1*k+2*(k-1)+3*(k-2)+....(k-1)*2+k*1=1/6k(k+1)(k+2)成立
那么，n=k+1时有：
左=1*（k+1)+2*(k+1-1)+3*(k+1-2)+...+(k+1-1)*2+(k+1)*1
=1*[(k)+1]+2*[(k-1)+1]+3*[(k-2)+1]+...+[(k-1)+1]*2+[(k)+1)]*1
=[1*k+2*(k-1)+3*(k-2)+....(k-1)*2+k*1]+[(1+2+3+...+（k+1)]
=1/6 k(k+1)(k+2)+(k+2)*(k+1)/2
=1/6 (k+1)(k+2)(k+3)
所以n=k+1时等式成立
综上，n∈N 有等式成立

追问

请问这一步是怎麽来的
"=[1*k+2*(k-1)+3*(k-2)+....(k-1)*2+k*1]+[(1+2+3+...+（k+1)]"

追答

1*[(k)+1]=1*k+1
2*[(k-1)+1]=2*k=2*(k-1)+2
…………
所以
1*[(k)+1]+2*[(k-1)+1]+3*[(k-2)+1]+...+[(k-1)+1]*2+[(k)+1)]*1
=[1*k+2*(k-1)+3*(k-2)+....(k-1)*2+k*1]+[(1+2+3+...+（k+1)]