Question

一道简单高中数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

设函数f(x)=ax^3-2x^2+x+c（a＞0）若f(x)在（-∞，+∞）内无极值点，求a的取值范围。
是不是a＞4/3 ？

Answer 1

没有极值点就是说函数的导数恒大于0或者恒小于0
f(x)的导数为3ax^2-4x+1>0或者3ax^2-4x+1<0恒成立
当3ax^2-4x+1>0恒成立时
a>0并且Δ<0 解得a>4/3
当3ax^2-4x+1<0恒成立时
a<0并且Δ<0 无解
综上就是a>4/3
你的答案是对的

追问

Δ到底是＜0还是≤0？ 我感觉是Δ＜0。如果Δ＝0，不是有一个x使f‘（x)=0吗？
那就有一个极值点了，不是吗？

追答

是Δ<0啊 我不就是这么写的么

追问

对啊。我也是这么想的。只是我想问你一下你 确定 是Δ＜0吗？
哦还有，你认为我追问的理解正确么？

追答

你的理解是对的
不过呢 这其中有一个小小的问题
有时候建议把Δ＝0的数代进去验算一下 可能也是成立的
记得以前高中的时候做到过类似的题目

Answer 2

解：f'(x)=3ax^2-4x+1(a>0)
因为f(x)在（-∞，+∞）内无极值点，
所以f(x)在（-∞，+∞）内为单调函数，所以
又因为f'(x)=3ax^2-4x+1(a>0)是关于x的二次函数，图像开口向上，所以
f'(x)≥0在在（-∞，+∞）内恒成立，即
3ax^2-4x+1≥0在x∈（-∞，+∞）上恒成立，
Δ≤0
解得a≥4/3
所以a的取值范围a≥4/3。

追问

Δ到底是＜0还是≤0？ 我感觉是Δ＜0。如果Δ＝0，不是有一个x使f‘（x)=0吗？
那就有一个极值点了，不是吗？

追答

如果Δ＝0，有一个x使f'（x)=0,但是此时f'(x)≥0，原函数在R上是单调递增的，不存在极值点。
注：极值点是导数等于0的根，但导数等于0的根不一定是极值点，还需要满足根左右两侧导数的符合相反。

追问

你说得也有道理啊。我该怎么想好呢？那么△≤0，你确定吗？我现在觉得这个更对啊。

Answer 3

导函数的判别式小于等于零

追问

Δ到底是＜0还是≤0？ 我感觉是Δ＜0。如果Δ＝0，不是有一个x使f‘（x)=0吗？
那就有一个极值点了，不是吗？