Question

初中数学一道挺难的题目，不要使用三角函数

如图所示：
在三角形ABC中，角BAC=90度，AB=AC，M是AC边上中点。AD垂直BM交BC于点D，交BM于点O。求证：角AMB=角DMC

Answer 1

证明：过A作AE⊥BC交BC于E.

∵△ABC是直角三角形，且AB=AC.

∵∠3=∠C=∠CAE=45°,∠2=∠1.

∴△ABF≌△CAD(ASA)

∴AF=CD

又∵M是AC的中点.

∴AM=CM

∴△AMF≌△CMD(SAS)

∴∠AMF=∠CMD

Answer 2

证明：过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E
∵∠ABM+∠BAO=90° ∠CAE+∠BAO=90°
∴∠ABM=∠CAE
在△ABM和△CAE中
∵∠ABM=∠CAE AB=AC ∠BAM=∠ACE=90°
∴△ABM≌△CAE (ASA)
∴AM=CE ∠AMB=∠E
∵AM=CM
∵CE=CM
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=∠BCE=45°
在△CDE和△CDM中
∵CE=CM ∠ACB=∠BCE CD=CD
∴△CDE≌△CDM (SAS)
∴∠DMC=∠E
∴∠AMB=∠DMC

Answer 3

直角△ABM中，∵AO⊥BM，∴∠ABM=90°-∠BAO=∠CAD
过A作∠BAC的平分线交BM于N，则∠BAN=45°=∠ACD，
又AB=AC，∴△BAN≌△ACD，得AN=CD，
由∠MAN=∠MCD=45°，MA=MC，AN=CD，可证△AMN≌△CMD，
于是∠AMB=∠DMC。

Answer 4

将三角形ABC补成正方形ABCP，然后延长AD交CP于一点Q，
则三角形ABM≌三角形ACQ，所以CQ=CM
进一步可以知道∠MDC=∠QDC,
所以∠ADB=∠CDQ=∠CDM
结合∠ABD=∠CDM
有△ABD∽△CDM所以∠BAD=∠CMD
又因为∠BAD=∠AMB
所以∠AMB=∠DMC证毕！