Question

已知实数a>0,b>0,且满足(a-1)³+(b-1)³≥3(2-a-b)恒成立则a²+b²的？

Answer 1

根据恒成立的条件(a-1)³+(b-1)³>3(2-a-b)，可以化简得到：

a³ + b³ - 3a² - 3b² + 9a + 9b - 6 > 3a + 3b - 9

移项得

a³ - 3a² + b³ - 3b² + 9a + 9b - 6 - 3a - 3b + 9 > 0

化简得：

a³ - 3a² + 9a + b³ - 3b² + 9b + 3 > 0

根据二次不等式的性质，在保持a>0和b>0的情况下，关于a和b的二次函数 a³ - 3a² + 9a 和 b³ - 3b² + 9b 都大于零。即：

a³ - 3a² + 9a > 0
b³ - 3b² + 9b > 0

由于a³ - 3a² + 9a 是一个正的二次函数，所以当 a > 0 时，这个二次函数的取值都是大于零的。同理，b³ - 3b² + 9b 也是一个正的二次函数，当 b > 0 时，这个二次函数的取值也都是大于零的。

因此，由已知条件可知，a³ - 3a² + 9a 和 b³ - 3b² + 9b 都大于零，再加上常数项3也是正数，所以：

a³ - 3a² + 9a + b³ - 3b² + 9b + 3 > 0

即 a² + b² > 0

所以 a² + b² 的值大于0，无法具体确定。