Question

15.设f(x)在 x=0 处三阶可导,且 limx0 fx/ln1+sin3x2求f0 f''0

Answer 1

根据洛必达法则，有：
limx→0 f(x)/ln(1+sin^3(2x))/x
= limx→0 [f(x)/x] / ln(1+sin^3(2x))/sin^3(2x) * sin^3(2x)
= limx→0 [f(x)/x] / [ln(1+sin^3(2x))/sin^3(2x)] * [sin^3(2x)/(2x)^3] * [(2x)^3]
= [limx→0 f(x)/x] * [limx→0 sin^3(2x)/(2x)^3] * limx→0 [1/ln(1+sin^3(2x))/sin^3(2x)]
由于 f(x) 在 x=0 处三阶可导，所以 f(x) 在 x=0 处连续，可以使用洛必达法则求导数。又因为 sin^3(2x)/(2x)^3 的极限值为 1/4，因此上式可以继续化简为：
limx→0 f(x)/ln(1+sin^3(2x))/x
= f'(0) * 1/4 * 1/limx→0[ln(1+sin^3(2x))/sin^3(2x)]
对于最后一个极限求解，可以使用洛必达法则：
limx→0 [ln(1+sin^3(2x))/sin^3(2x)]
= limx→0 [ln(1+sin^3(2x)) - ln(1)] / [sin^3(2x)]
= limx→0 [3sin^2(2x)*cos(2x)/(1+sin^3(2x))] / [6sin(2x)cos^2(2x)]
= 1/2limx→0 1/[1+sin^3(2x)]
= 1/2
因此，原式的极限值为：
f'(0) * 1/4 * 2 = f'(0) / 2
对于 f''(0)，可以对原式再求一次导数，使用洛必达法则，最终得到：
limx→0 [f'(x)/ln(1+sin^3(2x)) - f(x)*cos(2x)*3sin^2(2x)/(1+sin^3(2x))^2] = f''(0) / 2
因此，f'(0) 和 f''(0) 的值分别为原式极限值的两倍和二阶导数极限值的两倍。