Question

对于任意实数a(a不等于零)和b,不等式|a+b|+|a-2b|大于等于|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立，试求实数x的取值范围

对于任意实数a(a不等于零)和b,不等式|a+b|+|a-2b|大于等于|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立，试求实数x的取值范围

Answer 1

即lx-1l+lx-2l<=(l1+b/al+l1-2b/al)恒成立，(把lal除过去)
设f(x)=l1+xl+l1-2xl,
当x<=-1时,f(x)=-1-x+1-2x=-3x,最小值f(-1)=3
当-1<x<=1/2时,f(x)=1+x+1-2x＝-x+2,最小值f(1/2)=3/2
当x>=1/2时,f(x)=1+x+2x-1=3x，最小值f(1/2)=3/2
故f(x)最小值3/2，
令x=b/a,有(l1+b/al+l1-2b/al)最小值3/2，
要lx-1l+lx-2l<=(l1+b/al+l1-2b/al)恒成立，则有
lx-1l+lx-2l<=3/2,
解得范围,3/4<x<9/4,(这个不等式利用图象方法很好解)
希望可以帮助你．

Answer 2

解:|a+b|+|a-2b|>=|a|(|x-1|+|x-2|)两边除|a|
|1+b/a|+|1-2b/a|>=|x-1|+|x-2|
当b/a>=1/2,时, |1+b/a|+|2b/a-1|=3b/a>=3/2;
当b/a=<-1,时, |1+b/a|+|2b/a-1|=-3b/a>=3
当1/2<b/a=<-1,时, |1+b/a|+|2b/a-1|=-3b/a>,在1/2=<|1+b/a|+|2b/a-1|=<3
所以,3/2>=|x-1|+|x-2|
3/4=<x=<9/4