Question

已知，在三角形ABC中，AB=AC，AD垂直于BC，垂足为点D，AN是三角形ABC外角角CAM的平分线，CE垂直于AN，垂足

已知，在三角形ABC中，AB=AC，AD垂直于BC，垂足为点D，AN是三角形ABC外角角CAM的平分线，CE垂直于AN，垂足为点E [1] 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给以证明。

Answer 1

当三角形ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是正方形。
证明思路：有三线合一可以证明角ADC为直角；利用外角的性质即角平分线的性质可以证明AE与DC平行，从而说明四边形ADCE是矩形，再利用AD=DC说明ADCE是正方形。
也可以逆向考虑：有正方形推导出角B为45度。

Answer 2

由AB=AC得知三角形ABC为等腰三角形，所以角B=角ACB角CAM是三角形ABC的外角，所以角CAM=角B+角ACB，AN是角CAM的平分线，即角MAN=角NAC,又因为角B=角ACB所以角NAC=角ACB因为AD垂直BC，所以角ADC=90度，角CAD+角ACD=90度所以角NAC+角ACD=90度又因为CE垂直AN，所以角AEC=90度所以四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）

Answer 3

(1)AB=BC=CA （2）S⊿ABC=BC×AD÷2
∠B=∠C=60° =2×根号3÷2
AD⊥BC =根号3
∠ADB=∠ADC=90°
∠BAD=∠CAD=30°
BD=½AB=1
AD=2²-1²=根号3
（步骤有点多，自己看省哪些吧。）