Question

高中数学 在线等 高手来 导数问题

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2-bx，若y=f（x）在区间【-1.2】上市单调减函数，求a+b的最小值(图片上的是我的做法，和标准答案的不一样，标准答案是3/2)
（还补充一下，我的步骤里的a^2+b>9的下一步是b>9-a^2,没有拍出来不好意思）

Answer 1

楼主你好，因为f'(x)=x^2+2ax-b，且y=f（x）在区间[-1,2]上单调递减，那么f'(x)在[-1,2]上肯定是小于等于0的，设f'(x)等于0的两个根是x1和x2，那么x1<=-1,x2>=2。楼主到此分析均完全正确，下面我先说明一下我接下来的做法：
x1+x2=-2a，x1*x2=-b，a+b=-x1*x2-x1/2-x2/2=-(x1+1/2)(x2+1/2)+1/4 (1)，且x1+1/2<=-1/2 (2)，x2+1/2>=5/2 (3)，所以-(x1+1/2)>=1/2 (4)，(3)(4)这两个不等式左边都是大于0，右边也都是大于0，所以可以直接相乘，得到-(x1+1/2)(x2+1/2)>=1/2*5/2=5/4，带到(1)里面，就得到了a+b=-(x1+1/2)(x2+1/2)+1/4>=5/4+1/4=3/2，根据以上不等式取等号条件，可以得到：当a=-1/2，b=2取得等号。解毕。
楼主的主要问题是在得到a+b>=9/4+a-a^2=5/2-(a-1/2)^2后，就认为a+b>=5/2，其实不然，因为5/2是减去一个平方数而不是加上一个平方数的，因此，会有比5/2更小的值存在，做到这个地方发现无路可走的时候，建议楼主应该换一条思路。而且直接求方程的解并不是一个好办法，尽量多用维达公式会更加巧妙，节约时间。

追问

你好，你的意思是说a+b>=9/4+a-a^2我应该求它的min而不是9/4+a-a^2的max对吧（因为5/2是它的max）。我还有一个问题就是既然a+b>=9/4+a-a^2恒成立，那么a+b不是应该等于9/4+a-a^2的最大值吗？

追答

确实恒成立，但是你后面的那一项里面也有a，前面你要求的最小值里面也有a，就这么说吧，如果a变化了，左边的也会变化，右边的也会变化，那你怎么知道左边一定会小于右边呢。除非是左边不是a+b，而是另外一个变量c+b，那么肯定会有左边一定大于右边的最大值的。