Question

已知关于x的方程ax²-（1-3a）x+2a-1=0。

（1）当a取何值时，二次函数y=ax²-（1-3a）x+2a-1的对称轴是x=-2 （2）求证：a取任何实数时，方程 ax²-（1-3a）x+2a-1=0总有实数根。

Answer 1

1）二次函数对称轴为x=(1-3a)/2a
由对称轴为x=-2得：
(1-3a)/2a=-2
1-3a=-4a
a=-1
2)a=0时，方程为-x-1=0，显然有解
a≠0时，△=(1-3a)^2-4a(2a-1)
=1-6a+9a^2-8a^2+4a
=a^2-2a+1
=(a-1)^2>=0
则方程有实数根。
综上a取任何实数时，方程 ax²-（1-3a）x+2a-1=0总有实数根。

Answer 2

1）二次函数对称轴为x=(1-3a)/2a
由对称轴为x=-2得：
(1-3a)/2a=-2
1-3a=-4a
a=-1
2)a=0时，方程为-x-1=0，显然有解
a≠0时，△=(1-3a)^2-4a(2a-1)
=1-6a+9a^2-8a^2+4a
=a^2-2a+1
=(a-1)^2>=0
则方程有实数根。
综上a取任何实数时，方程 ax²-（1-3a）x+2a-1=0总有实数根。

Answer 3

判别式＝4(a-3)^2-4a(a-2)=36-16a=4(9-4a)>=0 , a <= 9/4

因a为非负整数, a可取：0，1，2

当a＝0时，方程为： -6x-2=0, x=-1/3, x非整数，不满足要求。
a=1时，方程：x²-4x-1=0, x无整数解。
a=2时，方程：2x²-2x=0， x=0,或x＝1，符合要求

所以a＝2