Question

设函数f(x)=1/3x³-ax²-3a²x+1(a>0），

若x∈[a+1,a+2]时，恒有f(x)>-3a, 求实数a的取值范围。请详细解答，谢谢
这题我想了很久也不会， 很期待得到你热情帮助 ,恳求急救 ！！！
这里是求f(x)最小值恒>-3a 吧，f(a+1)=-11/3a³-4a²+4/3 f(a+2)=-11/3a³-8a²+11/3 f(3a)=-9a³+1,
接下来怎么比较它们的大小，找出最小值？

Answer 1

用导数做
求导：f'(x)=x^2-2ax-3a^2=(x+a)(x-3a）
令上式等于零，可得x=-a或x=3a
令x小于-a时，导数式大于零，则原函数式递增，同理可证x大于3a时，原函数式也递增
那么在-a到3a之间，原函数递减
那么，f(3a)为最小值
然后讨论，按a+1，3a，a+2的顺序假设，算出a的范围，再把最小值带回函数式大于-3a，算一遍a的范围，有交集就可去，应该有没有交集的，那个就是无解，舍掉
换一下顺序在讨论一下，应该就可以确定出最终答案
记得最后三种情况取并集

Answer 2

这道题求解的时候很繁琐，所以，我偷懒只给你方法了。
根据f'(x)=x^2-2ax-3a^2=(x+a)(x-3a）可知，在（-∞,-a）和(3a,+∞)上分别递增，在（-a,3a）上递减，所以函数在x=3a处取得极小值。只需求出函数分别在x=a+1,x=a+2,x=3a处的函数值并于-3a比较，即可求得a值的范围，注意还要比较a+1,a+2,3a三值间的大小关系。应该就是这样了，计算的时候认真一些，应该可以解出答案~

Answer 3

其实很简单不要被题目的形势吓倒

由题意
1/3x³-ax²-3a²x+1>-3a
整理：3xa平方-（3+x平方）a-1/3x³-1<0
可视为以a为自变量的二次函数值恒小于0
x∈[a+1,a+2]
a一定<0
讨论对称轴在[a+1,a+2]的左右（边界值可以取到）
剩下的你一定可以算出来
这题的核心我已经告诉你了
你找这题可以看出你水平很高啊