求函数z=f(x^2+y^2)的二阶偏导数, 其中f具有二阶连续偏导数
函数z=f(x^2+y^2)的二阶偏导数有三个。具体如下:
解:
设z=f(t),t=φ(xy,x^2+y^2),其中,f,φ具有连续的二阶导数及偏导数,求δ^2z/δx^2。
δz/δx=f1 ·(x²+y²)′+f2 · (x²-y²)′f1f2为f函数的偏导,可以直接放在这里的(x²+y²)′和(x²-y²)′,在这里都是把y当常数对x求导。
∴有δz/δx=f1·2x+f2·2x,
∴ δ^2z/δxδy=2x(f1′+f2′)。
根据导函数的性质f1和f2的形式与原函数f(x^2+y^2,x^2-y^2)形式一致且现在x是常数,对y求导。
∴f1′=f11· (x²+y²)′+f12· (x²-y²)′=f11·2y+f12·﹙﹣2y﹚f2′=f21· (x²+y²)′+f22· (x²-y²)′=f21·2y+f22·(﹣2y)
∴δ^2z/δxδy=4xy(f11-f12+f21-f22)
偏导数几何意义
表示固定面上一点的切线斜率。
偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率;偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
高阶偏导数:如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个:f"xx,f"xy,f"yx,f"yy。
以上资料参考 百度百科—偏导数
2024-10-13 广告
计算过程如下:
z=xf(x^2+y^2)
dz=f(x^2+y^2)dx+xf'(x^2+y^2)(2xdx+2ydy)
dz=[f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)]dx+2xyf'(x^2+y^2)dy
dz/dx=f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)
d^2z/dxdy=2yf'(x^2+y^2)+2x^2f''(x^2+y^2)2y
=2yf'(x^2+y^2)+4x^2yf''(x^2+y^2)
扩展资料:
当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时,我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导,那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。
此时,对应于域 D 的每一点 (x,y) ,必有一个对 x (对 y )的偏导数,因而在域 D 确定了一个新的二元函数,称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。
计算过程如下:
z=xf(x^2+y^2)
dz=f(x^2+y^2)dx+xf'(x^2+y^2)(2xdx+2ydy)
dz=[f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)]dx+2xyf'(x^2+y^2)dy
dz/dx=f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)
d^2z/dxdy=2yf'(x^2+y^2)+2x^2f''(x^2+y^2)2y
=2yf'(x^2+y^2)+4x^2yf''(x^2+y^2)
扩展资料
二阶偏导数对函数关于同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx,二阶混合偏导数就是对函数先关于其中一个自变量求一次导数。
在一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。在 xOy 平面内,当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时,函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的,因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。
2012-03-28