求函数z=f(x^2+y^2)的二阶偏导数, 其中f具有二阶连续偏导数
函数z=f(x^2+y^2)的二阶偏导数有三个。具体如下：
解：
设z=f(t)，t=φ（xy,x^2+y^2），其中，f，φ具有连续的二阶导数及偏导数，求δ＾2z/δx^2。
δz/δx=f1 ·（x²＋y²）′＋f2 · （x²－y²）′f1f2为f函数的偏导，可以直接放在这里的（x²＋y²）′和（x²－y²）′，在这里都是把y当常数对x求导。
∴有δz/δx＝f1·2x＋f2·2x，
∴ δ＾2z/δxδy=2x（f1′＋f2′）。
根据导函数的性质f1和f2的形式与原函数f(x^2+y^2,x^2-y^2)形式一致且现在x是常数，对y求导。
∴f1′＝f11· （x²＋y²）′＋f12· （x²－y²）′＝f11·2y＋f12·﹙﹣2y﹚f2′＝f21· （x²＋y²）′＋f22· （x²－y²）′＝f21·2y＋f22·（﹣2y）
∴δ＾2z/δxδy=4xy（f11－f12＋f21－f22）
偏导数几何意义
表示固定面上一点的切线斜率。
偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
以上资料参考 百度百科—偏导数
计算过程如下：
z=xf(x^2+y^2)
dz=f(x^2+y^2)dx+xf'(x^2+y^2)(2xdx+2ydy)
dz=[f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)]dx+2xyf'(x^2+y^2)dy
dz/dx=f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)
d^2z/dxdy=2yf'(x^2+y^2)+2x^2f''(x^2+y^2)2y
=2yf'(x^2+y^2)+4x^2yf''(x^2+y^2)
扩展资料：
当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。
此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。
计算过程如下：
z=xf(x^2+y^2)
dz=f(x^2+y^2)dx+xf'(x^2+y^2)(2xdx+2ydy)
dz=[f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)]dx+2xyf'(x^2+y^2)dy
dz/dx=f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)
d^2z/dxdy=2yf'(x^2+y^2)+2x^2f''(x^2+y^2)2y
=2yf'(x^2+y^2)+4x^2yf''(x^2+y^2)
扩展资料
二阶偏导数对函数关于同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx，二阶混合偏导数就是对函数先关于其中一个自变量求一次导数。
在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。
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