证明:∫xf(sinx)dx=π/2∫f(sinx)dx
本题你漏了积分限，积分限应是[0--->π]
∫[0--->π]
xf(sinx)dx
做变量代换，令x=π-u，则dx=-du，u：π--->0
=-∫[π--->0]
(π-u)f(sin(π-u))du
=∫[0--->π]
(π-u)f(sinu)du
=∫[0--->π]
πf(sinu)du-∫[0--->π]
uf(sinu)du
定积分可随便换积分变量
=∫[0--->π]
πf(sinx)dx-∫[0--->π]
xf(sinx)dx
将-∫[0--->π]
xf(sinx)dx移动等式左边与左边合并得
2∫[0--->π]
xf(sinx)dx=π∫[0--->π]
f(sinx)dx
即：∫[0--->π]
xf(sinx)dx=π/2∫[0--->π]
f(sinx)dx将-∫[0--->π]
xf(sinx)dx移动等式左边与左边合并得
2∫[0--->π]
xf(sinx)dx=π∫[0--->π]
f(sinx)dx
即：∫[0--->π]
xf(sinx)dx=π/2∫[0--->π]
f(sinx)dx
积分的意义
实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。
但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。
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具体证明过程如图所示：
积分变现函数意义：
若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数。
若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。
∫[0--->π] xf(sinx)dx
做变量代换，令x=π-u，则dx=-du，u：π--->0
=-∫[π--->0] (π-u)f(sin(π-u))du
=∫[0--->π] (π-u)f(sinu)du
=∫[0--->π] πf(sinu)du-∫[0--->π] uf(sinu)du
定积分可随便换积分变量
=∫[0--->π] πf(sinx)dx-∫[0--->π] xf(sinx)dx
将-∫[0--->π] xf(sinx)dx移动等式左边与左边合并得
2∫[0--->π] xf(sinx)dx=π∫[0--->π] f(sinx)dx
即：∫[0--->π] xf(sinx)dx=π/2∫[0--->π] f(sinx)dx
