Question

证明∫（0→π）xsinxdx=π/2·∫（0→π）sinx dx

Answer 1

∫[0→π] xsinx dx
令x=π-u，则dx=-du，u：π→0
=∫[π→0] (π-u)sin(π-u) d(-u)
=∫[0→π] (π-u)sinu du
=π∫[0→π] sinu du - ∫[0→π] usinu du
将u换回x
=π∫[0→π] sinx dx - ∫[0→π] xsinx dx
将 -∫[0→π] xsinx dx 移到等式左边与左边合并，然后除去系数得：
∫[0→π] xsinx dx = (π/2)∫[0→π] sinx dx

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追问

请问将U换成X,为什么可以换？U不是等于π-X吗？为什么这个时候又可以等于X了呢？

追答

定积分可以随便换积分变量的

∫[a→b] f(x) dx = ∫[a→b] f(t) dt = ∫[a→b] f(u) du

因为定积分的结果其实是一个数字，无论积分变量换成什么，对这个数字不会有任何影响。

追问

那最开始的X和后面的X 是同一个X吗

追答

是不是都无所谓的。积分变量在积分做完后就不存在了，定积分结果是一个数字。现在是数字之间的相等关系。